O presidente da Ucrânia, Volodimir Zelensky, encontra-se hoje com o presidente francês, Emmanuel Macron, em Paris, para discutir o progresso das negociações visando um acordo de cessar-fogo com a Rússia. Este encontro bilateral ocorre em um momento crítico, enquanto a comunidade internacional observa atentamente os esforços diplomáticos paraFind the minimum value of
for $x > 1$ and $y > 1$.
Let $f(x,y) = frac{x^2}{y-1} + frac{y^2}{x-1}$. By AM-GM inequality, we have
$$ frac{x^2}{y-1} + frac{y^2}{x-1} ge 2 sqrt{frac{x^2 y^2}{(x-1)(y-1)}} = 2xy sqrt{frac{1}{(x-1)(y-1)}}. $$
To minimize this, we want to minimize $f(x,y) = frac{x^2}{y-1} + frac{y^2}{x-1}$.
Let $u = x-1 > 0$ and $v = y-1 > 0$. Then $x = u+1$ and $y = v+1$.
Then
$$ f(x,y) = frac{(u+1)^2}{v} + frac{(v+1)^2}{u} = frac{u^2+2u+1}{v} + frac{v^2+2v+1}{u} = frac{u^2}{v} + frac{2u}{v} + frac{1}{v} + frac{v^2}{u} + frac{2v}{u} + frac{1}{u}. $$
Consider the case $x=y$. Then
Let $g(x) = frac{2x^2}{x-1}$. Then $g'(x) = frac{4x(x-1) – 2x^2}{(x-1)^2} = frac{4x^2-4x-2x^2}{(x-1)^2} = frac{2x^2-4x}{(x-1)^2} = frac{2x(x-2)}{(x-1)^2}$.
Setting $g'(x)=0$, we get $x=2$. Then $g(2) = frac{2(2^2)}{2-1} = frac{8}{1} = 8$.
Now let $x=2$ and $y=2$. Then $f(2,2) = frac{2^2}{2-1} + frac{2^2}{2-1} = 4+4 = 8$.
Applying Cauchy-Schwarz inequality, we have
$$ left( frac{x^2}{y-1} + frac{y^2}{x-1} right) ((y-1) + (x-1)) ge (x+y)^2. $$
So
$$ frac{x^2}{y-1} + frac{y^2}{x-1} ge frac{(x+y)^2}{x+y-2}. $$
Let $t = x+y$. Then we want to minimize $frac{t^2}{t-2}$.
Let $h(t) = frac{t^2}{t-2}$. Then $h'(t) = frac{2t(t-2) – t^2}{(t-2)^2} = frac{2t^2-4t-t^2}{(t-2)^2} = frac{t^2-4t}{(t-2)^2} = frac{t(t-4)}{(t-2)^2}$.
Since $x>1$ and $y>1$, we must have $t > 2$. Then $h'(t)=0$ when $t=4$.
When $t=4$, we have $h(4) = frac{4^2}{4-2} = frac{16}{2} = 8$.
When $t=4$, we need to have $x+y=4$. For instance, $x=2$ and $y=2$, which gives $f(2,2) = 8$.
Final Answer: The final answer is $boxed{8}$
Fonte: https://noticias.uol.com.br
